【求助】一道小学的奥数题

imsea

一道小学的奥数题：N是个自然数，2N有28个约数，3N有30个约数，求6N有几个约数。好难哪，居然还是小学生的题目，好BT，我好郁闷阿，好可怜现在的小孩子们。
BTW，谁做出来了并且有详细的思路解释，10NB相送阿

imagination

我这个解答比较麻烦

如果N=2^(a1-1)*3^(a2-1)*m1                                                                                             

则                                                                                                                     
2N=2^a1*3^(a2-1)*m1                                                                                                     

3N=2^(a1-1)*3^a2*m1                                                                                                     

所以                                                                                                                    
(a1+1)*a2*m2=28                                                                                                         
a1*(a2+1)*m2=30                                                                                                         
                                                                                                                        
a1=6,a2=4,m2=1                                                                                                         
N=864

plow

p为一个质数，假设N 的约数有X个，则p×N 的约数,分两种情况 2X（N不可以被p整除）个和，2X－2个（N可以被p整除）。
根据条件，则X＝15，而且，N是2的倍数，但不是4的倍数，但不是三的倍数。
所以，6N有58个约数。

[ Last edited by plow on 2004-4-27 at 10:34 ]

rishilee

不会做，*.*。
搞什么东东，我们云南的教育水平真这么低，连小学的题都做不出来。汗

imsea

感觉plow的答案有道理，正在验证中，送小花先，不知道能不能给些详细的原理解答

disco

按照plow的推理，我可以将6N拆成 3x 2N，N不能被3整除，那么2N肯定也不能被3整除，因此 3 x 2N的约数个数应为 2 x (2N的约数个数)，而2N约数有28个，则 3 x2N的约数个数应为 56　，但plow的结论是58个，矛盾？还是我推理错误？
将 6N理解成2 x 3N的话倒是正好对上， 2 x30-2=58，呵呵

十八禁

今天狂汗，连小学生的题目都做不出，白混了

plow

那天胡写了，也没有仔细想。
下面修正一下：

把N分解成有限个质数的乘积：N = P1^(i1) * P2^(i2) *....* Pn^(in).有公式：
它的质数个数=(i1+1)×(i2+1)×。。。。。×(in+1)

这里P1,P2....是不同的质数。
这样就可以分情况了

2N ：  (1) 2不是P1,P2.....中的一个，则：2*(i1+1)*(i2+1)*...*(in+1) = 28
       (2) 2是P1,P2....中的一个，不妨是第i1个， 则： (i1+1+1)*......*(in+1) = 28

3N :   (3)  3不是P1,P2....中的一个，则：2*(i1+1)*(i2+1)*...*(in+1) = 30
       (4) 3是P1,P2....中的一个，不妨是第i2个， 则：(i1+1)*(i2+1+1)*......*(in+1) = 30
这样判断可以知道 只有

(a)(1)和(4)同时成立，这个时候，矛盾，同样由上面的公式得到。
(b)(2)和(4)同时成立，此时，i1<i2 ,简单计算可以知道，i2-i1 =2/(一个大于等于一的数)
(c)(2)和(3)同时成立，
(b)还可以分两种情况：
   (b1): 那个大于等于一的数是1,即：N除了2,3没有别的质约数，并且3的次数比2的次数大2.
得到
(i1+1+1)(i1+2+1)=28
(i1+1)(i1+2+1+1)=30
没有公共解，故这种情况不成立。

   (b2)：那个大于等于一大数是2,即：N除了2,3之外还有别的质约数，并且是一次的。并且3的次数比2的次数大1.
得到
(i1+1+1)(i1+1+1)=28/2
(i1+1)(i1+1+1+1)=30/2
也没有公共整数解，故这种情况也不成立。

                                                                #

[ Last edited by plow on 2004-4-28 at 18:32 ]

whitetulip

能被2、3、6整除的数一定是偶数，且是3、6的倍数，N除以6的次数不会大于28/2=14和30/3=10，即10次。
我就会这么多了。

imsea

imagination的答案是对的，N=864，特送上小花，今天看了一下，又问了同事，同事说看了女儿的奥数书（同事女儿在上小学）^.^l^.^l^.^l，做出来的结果是35，感谢大家了

azhar

还是没看明白,白活这么大了,记得小学的时候这种题对我也不算啥，怎么越活越笨了.

imsea

说实话，这道题是帮别人做的，很郁闷，也很同情现在的小孩子们，我小时候就比他们幸福多了，这种bt的题目很少坐，虽然我昨天也是一个孩子（刚过本命年）。
用到的一个公式是x=2^a*3^b，至于为什么是这样一个公式就不知道了，比较麻烦的，就不细说了，那天有心情在写上来