【原来如此】证明0.99999……＝1

djingle

如题

证明方法很多很多

有个神奇的

设x=0.99999……

10x-x=9.9999……-0.99999……＝9
9x=9

所以x=1

数学太神奇了*.*lll

招财猫

坐了再看.

andoon

晕～～ 楼上好快·～

静静心

看了再坐.

靠,屁股好痛.坐地板上了..

招财猫

舒坦
好久没坐沙发了.

djingle

某天看了wiki这个词条：

证明0.999...等于1

[IMG|right]
在[数学]上， 考虑0.999...是否是等于1或是一个非常接近于1的数字是一个陷阱。下面是两者其实相等的证明。
== 证明: ==
{-
|0.999...
|= \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots
|
|= -9 + \frac{9}{1} + \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots
|
|= -9 + 9 \times \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{10} \right)^k
|
|= -9 + 9 \times \frac{1}{1-\frac{1}{10}}
|
|= 1.\,
=== 解释 ===
关键的一步是理解无限等比数列的收敛性:
:\sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{10} \right)^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{10}}.
== 极限证法 ==
{-
|0.999...=\lim_{n \to \infty} \left(0.9+0.09+0.009+...+0.9 \times 0.1^n \right)
|
|={0.9 \over 1-0.1}
|
|=1
*在无穷等比数列\left\{a_n \right\}中a_1为首项，公比q满足\left| q \right| < 1时
*该无穷等比数列的和S_n=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_1-a_1 q^n}{1-q}\right)=\frac{a_1}{1-q}
==另一种证法==
这里还有一个没有使用很多数学知识的证明方法:
'证明:'
:假设'x'等于0.999...
:'∵'
:10'x'-'x' = 9.999... - 0.999...
:'即'
:9'x' = 9,
:∴
:'x' = 1.
这个证明也揭示了[实数]性质。
==分数证法==
'证明1:'
:∵
:1/9=0.111...
:2/9=0.222...
:3/9=0.333...
:4/9=0.444...
:5/9=0.555...
:6/9=0.666...
:7/9=0.777...
:8/9=0.888...
:∴
:1=9/9=0.999...
'证明2:'
9/9= 1/9 + 8/9
= 0.111... + 0.888...
= 0.999...
==最简单的证明==
'证明'
:∵
:1/9=0.111...
:∴
:0.999...=1
[Q.E.D.]
==反證法==
'证明'
:若 1≠0.999...
:即是 1 與 0.999... 之間有數值存在
:設 x 為 1 與 0.999... 之間的任意數值，使得 0.999... < x < 1
:x 不存在，兩數之間沒有數值存在，故兩數相等
换言之，假定0.999...与1是不同的实数。那么，在(0.999..., 1)[区间]内必然存在无穷个实数。但实际上并不存在这样的实数；因此，原先的假设错误: 0.999... 与1并非不同的实数，它们相等。
== 参见 ==
* [循环小数]
* [等比数列]
* [收敛数列]
* [无限数列]
* [极限 (数学)|极限]
== 外部连接==
*[http://descmath.com/diag/nines.html Repeating Nines]
*[http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html 为什么0.9999...=1?]
{mathstub}
[en:0.999...]

gjy

10x-x=9.9999……-0.99999……＝9
-------------------
其实10x的小数点位数要少于x一位，所以上面的等式是不对的，应该等于8.99999....1

djingle

QUOTE:

Posted by gjy on 2007-12-5 16:18
10x-x=9.9999……-0.99999……＝9
-------------------
其实10x的小数点位数要少于x一位，所以上面的等式是不对的，应该等于8.99999....1

拖出去


==最简单的证明==
'证明'
:∵
:1/9=0.111...
:∴
:0.999...=1

这个强

Remon

数学还给老师了。

DarkClouds

这个证明不严谨吧？？

这个证明在我们《数学分析》的第一册就有了。
有好几个证法。

269569

我也来一个
(1/3)×3=1
1/3=0.3333333.................
0.33333333333.......×3=0.9999999999999999....
所以 0.999999999.....=1

SKTOO

我晕~~~

莲花北村

完全看不懂大家说的是啥。。。

djingle

QUOTE:

Posted by 莲花北村 on 2007-12-5 17:01
完全看不懂大家说的是啥。。。

不懂就要学习

Remon

管家老师整的东东太高深了。

evernever

QUOTE:

Posted by gjy on 2007-12-5 16:18
10x-x=9.9999……-0.99999……＝9
-------------------
其实10x的小数点位数要少于x一位，所以上面的等式是不对的，应该等于8.99999....1

嘿嘿，对于可数的无限序列，这两者的“数目”其实是相等的

Remon

打到数学派对。

evernever

QUOTE:

Posted by Remon on 2007-12-5 19:23
打到数学派对。

ft，刷墙啊，你

Remon

QUOTE:

Posted by evernever on 2007-12-5 19:24

ft，刷墙啊，你

我哪有啊？

evernever

QUOTE:

Posted by Remon on 2007-12-5 19:25


我哪有啊？

bs装无辜的ws热馍。。。

Remon

无辜不是装的，谢谢，请不要诋毁俺的清白。

djingle

QUOTE:

Posted by evernever on 2007-12-5 19:22

嘿嘿，对于可数的无限序列，这两者的“数目”其实是相等的

还是小E有文化

djingle

QUOTE:

Posted by Remon on 2007-12-5 19:25


我哪有啊？

热馍馍
小心揭你老底

oldwan621

悖论，应该是趋近于1

djingle

QUOTE:

Posted by oldwan621 on 2007-12-5 19:49
悖论，应该是趋近于1

请举证

lengbj

LZ你先设了X=0.99999......然后得出X=1  这根本不对啊

djingle

QUOTE:

Posted by lengbj on 2007-12-5 20:09
LZ你先设了X=0.99999......然后得出X=1  这根本不对啊

咋样才对

平果

如果按照楼主的方法论证,很多数字都可以等于1了,比如0.8888…, 0.77777…什么的

djingle

QUOTE:

Posted by 平果 on 2007-12-5 20:18
如果按照楼主的方法论证,很多数字都可以等于1了,比如0.8888…, 0.77777…什么的

0.88888……咋等于1啊
证明不出来**\